Tikimybės teorija. Tikimybė įvykio, kartais įvykis (tikimybių teorija). Nepriklausomi ir nesuderinami pokyčiai tikimybių teoriją

Labai tikėtina, kad daugelis žmonių, kad tai yra įmanoma suskaičiuoti renginius, kuris tam tikru mastu atsitiktinio. Norėdami įdėti ją į Paprastais žodžiais tariant, tai realu žinoti, kuri pusė iš kauliukai kubo kris kitą kartą. Būtent šis klausimas paklausti du garsūs mokslininkai, padėjo šiai mokslo fondas, teoriją tikimybės, kad tikimybė įvykio, kuriame studijavo pakankamai plačiai.

karta

Jei bandysite nustatyti tokią koncepciją, kaip tikimybių teoriją, kurią mes gauname taip: tai yra viena iš matematikos šakų tyrimai atsitiktinių įvykių pastovumą. Akivaizdu, kad ši koncepcija tikrai neatskleidžia esmę, todėl jums reikia jį išnagrinėti išsamiau.

Norėčiau pradėti nuo teorijos kūrėjų. Kaip jau buvo minėta aukščiau, ten buvo du, kad Per Ferma ir Blez Paskal. Jie buvo pirmieji bandė naudojant formules ir matematinius skaičiavimus apskaičiuoti įvykio baigtį. Apskritai, šios mokslo užuomazgos dar viduramžiais. Nors įvairūs mąstytojai ir mokslininkai bandė analizuoti kazino žaidimų, tokių kaip ruletė, Craps, ir taip toliau, ir taip sukurti modelį, o procentinis praradimas skaičių. Fondas taip pat buvo nustatyta XVII amžiuje ji buvo minėti mokslininkai.

Iš pradžių jų darbas negali būti priskiriami prie didelių pasiekimų šioje srityje, galų gale, ką jie padarė, jie buvo tiesiog empiriniai faktai ir eksperimentai buvo aiškiai nenaudojant formules. Laikui bėgant, paaiškėjo pasiekti puikių rezultatų, kuris pasirodė kaip stebint kaulų mesti rezultatas. Tai ši priemonė padėjo pirmąjį atskirą formulę.

rėmėjai

Jau nekalbant toks žmogus kaip Christiaan Huygens, atsižvelgiant į studijų dalyką, kad tenka "tikimybių teorijos" vardą procesą (tikimybė įvykio pabrėžia, kad šiame moksle). Šis asmuo yra labai įdomus. Jis, taip pat kaip aukščiau pateiktos mokslininkai bandė į matematines formules forma išvesti atsitiktinių įvykių modelį. Pažymėtina, kad jis neturėjo pasidalinti ja su Pascal ir Ferma, tai visi jo darbas nėra sutampa su protu. Huygens "kilęs pagrindines sąvokas tikimybių teorijos.

Įdomus faktas yra tas, kad jo darbas buvo ilgai, kol iš pionierių darbų rezultatus, turi būti tiksli, dvidešimt metų anksčiau. Yra tik tarp sąvokų nustatytų buvo:

• kaip tikimybių reikšmių tikimybė koncepciją;
• tikimasi, kad atskiras atveju;
• teoremos to ir dauginimosi tikimybių.

Be to, negalima pamiršti Yakoba Bernulli, kuris taip pat prisidėjo prie šios problemos tyrimą. Per savo, nei iš jų yra nepriklausomi testai, jis galėjo pateikti įrodymus apie dideliais kiekiais teisę. Savo ruožtu, mokslininkai Puasono ir Laplaso, dirbęs XIX amžiuje, galėjo įrodyti originalų teorema. Nuo to momento analizuoti klaidas pastabas pradėjome naudoti tikimybių teorija. Šalis aplink šio mokslo negalėjo ir Rusijos mokslininkai, o Markov Čebyševo ir Dyapunov. Jie remiasi darbas didžiųjų genijų, užsitikrino temą kaip matematikos šakos. Dirbome šie skaičiai ne iš XIX amžiaus pabaigoje, ir dėka jų indėlį, buvo įrodyta, reiškinius, kaip antai:

• didžiųjų skaičių dėsnis;
• Teorija Markovo grandines;
• Centrinė ribinė teorema.

Taigi, mokslo ir su didžiųjų asmenybių, kurie prisidėjo prie jos gimimo istorija, viskas yra daugiau ar mažiau aišku. Dabar atėjo laikas sukonkretinti visus faktus.

pagrindinės sąvokos

Prieš paliesti įstatymai ir teoremos turėtų išmokti pagrindines sąvokas tikimybių teorijos. Renginių ji užima dominuojančią vaidmenį. Ši tema yra gana plati, tačiau negalės suprasti visa kita be jo.

Įvykio tikimybių teorija - tai Bet rezultatų eksperimento rinkinys. Koncepcijos šio reiškinio nėra pakankamai. Taigi, Lotmano mokslininkas dirba šioje srityje, pareiškė, kad šiuo atveju mes kalbame apie tai, kas "įvyko, nors jis negalėjo atsitikti."

Atsitiktinės renginiai (tikimybių teorija skiria ypatingą dėmesį į juos) - tai sąvoka, kuri apima absoliučiai jokios reiškinys, turintis galimybę atsirasti. Arba, priešingai, šis scenarijus negali atsitikti, esant įvairioms sąlygoms vykdyti. Taip pat verta žinoti, kad užima visą tūrį reiškinių, įvykusių tiesiog atsitiktinių įvykių. Tikimybių teorija teigia, kad visos sąlygos gali būti nuolat kartojama. Tai jų elgesys buvo vadinamas "patirtis" ar "testas".

Reikšmingas įvykis - tai reiškinys, kuris yra šimtu procentų šio testo atsitikti. Todėl neįmanoma renginys - tai yra kažkas, kad neatsitinka.

Derinant poros veiksmus (įprastiniu būdu bylą A ir B atvejis) yra reiškinys, kuris tuo pačiu metu atsiranda. Jie vadinami AB.

Iš porų įvykių A ir B suma - C yra, kitaip tariant, jei bent vienas iš jų bus (A arba B), gausite C. formulė aprašyta reiškinys yra parašyta, kaip C = A + B

Nesuderinamos pokyčiai tikimybių teoriją reiškia, kad abi bylos yra tarpusavyje nesuderinami. Tuo pačiu metu jie bet kuriuo atveju negali atsirasti. Bendros įvykiai tikimybių teorijos - tai jų antipodas. Tai reiškia, kad jeigu A atsitiko, tai netrukdo C.

Pasipriešinimas renginį (tikimybių teorija mano, kad jie labai išsamiai), lengva suprasti. Tai geriausia elgtis su jais palyginus. Jie beveik tokie patys kaip nesuderinamas pokyčiai tikimybių teoriją. Tačiau, jų skirtumas yra tas, kad turėtų įvykti vienas iš daugybės reiškinių, bet kuriuo atveju.

Taip pat tikėtina, įvykiai - tokie veiksmai, iš kartojimo galimybė yra lygi. Kad būtų aišku, galite įsivaizduoti, supimas moneta: nuostoliai vienos iš pusių yra vienodai tikėtina nuostolių kitai.

ji yra lengviau apsvarstyti pirmenybę renginį pavyzdį. Tarkime, yra epizodas A. Pirmasis epizodas - iš mirti su nelyginis skaičius atėjimas roll, o antrasis - iš skaičių penkių išvaizdą kauliukai. Tada paaiškėja, kad A yra palankumo V.

Nepriklausomi įvykiai tikimybių teorijos prognozuojama tik du ar daugiau kartų ir įtraukti nepriklausomi bet kokių veiksmų iš kitų. Pavyzdžiui, A - ne nuostolio uodegos monetų supimas, ir B - dostavanie lizdą iš denio. Jie turi nepriklausomus įvykių tikimybių teorija. Nuo šio momento tapo aišku.

Priklausomi įvykiai tikimybių teorijos taip pat yra leidžiama tik jų rinkinys. Jie reiškia priklausomybę vienas nuo kito, tai yra, šis reiškinys gali atsirasti tik tuo atveju, kai A jau įvyko ar, priešingai, neįvyko, kai tai - pagrindinė sąlyga B

Iš atsitiktinių eksperimento sudarytas iš vieno komponento rezultatas - tai elementarių įvykių. Tikimybių teorija sako, kad tai yra reiškinys, kuris yra atliekamas tik vieną kartą.

pagrindinė formulė

Taigi, pirmiau buvo laikomas iš "įvykio", "tikimybių teorijos" koncepciją, apibrėžimai pagrindinių terminų šio mokslo pat buvo suteiktas. Dabar atėjo laikas supažindinti save su svarbiais formules. Šios išraiškos matematiškai patvirtino visas pagrindines sąvokas, tokiu sudėtingu klausimu, nes tikimybių teoriją. Tikimybė įvykio ir vaidina didžiulį vaidmenį.

Geriau pradėti nuo pagrindinių formulių kombinatorikos. Ir prieš pradėdami juos, verta pasvarstyti, kas tai yra.

Kombinatorika - tai visų pirma matematikos šaka, jis studijuoja labai daug sveikųjų skaičių, ir įvairių kombinacijų abiejų skaičių ir jų elementų, įvairių duomenų ir tt, todėl derinių skaičius ... Be to, tikimybių teoriją, ši pramonė yra svarbus statistikos, kompiuterių mokslo ir kriptografija.

Taigi, dabar jūs galite pereiti į save ir savo raiškos formules pristatymas.

Pirmasis iš jų yra už kombinacijų skaičiaus išraiška, tai yra taip:

P_n = N ⋅ (n - 1) ⋅ (N - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = N!

Lygtis taikoma tik tuo atveju, jei elementai skiriasi tik išdėstymo tvarka.

Dabar vieta formulė, atrodo, kad tai bus laikoma:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ... ⋅ (N - M + 1) = N! : (N - m)!

Ši sąvoka taikoma ne tik vienintelis elementas užsakymo vietą, bet ir į jo sudėtį.

Trečioji lygtis Kombinatorika, ir ji yra pastaroji, vadinamas už skaičių kombinacijos formulę:

C_n ^ m = N! : ((N - m))! : P!

Kombinuotas pakvietė atranka, kurios nebuvo užsakyta, atitinkamai, ir taikoma ši taisyklė.

Su kombinatorikos formules atėjo suprasti lengvai, dabar galite eiti į klasikinės tikimybės apibrėžimas. Atrodo, šią išraišką taip:

P () = M: n.

Šioje formulėje m - yra ypač palankios sąlygos įvykių skaičių, ir n - skaičius vienodai ir visiškai visų elementariųjų įvykių.

Yra daug posakių straipsnyje nebus svarstomas nieko, bet paveiktos bus svarbiausi tokių kaip, pavyzdžiui, įvykių tikimybė sudaro:

P (A + B) = P (a) + P (b) - tai teorema pridedant tik nesuderinami įvykius;

P (A + B) = P (A) + P (B) skirsnis - P (AB) - bet tai tik pridedant suderinama.

Renginio darbų tikimybė:

P (⋅ B) = P (A), ⋅ P (b) - tai teorema nepriklausomų įvykių;

(P (⋅ B) = P (A), ⋅ P (b | A); P (⋅ B) = P (A), ⋅ P (B | A)) - ir tai, kad priklauso.

Baigėsi įvykių sąrašą formulę. Tikimybės teorija mums sako teorema Bajeso, kuris atrodo taip:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (| H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (h_k) P (| h_k)), m = 1, ..., n

Į minėtą formulę, H _1, H _2, ..., O _n - yra komplektas hipotezių.

Šiuo stotelės, mėginiai formulės taikymas dabar bus laikomas konkrečioms užduotims atlikti iš praktikos.

pavyzdžiai

Jei atidžiai studijuoti bet matematikos šaką, tai ne be pratimų ir bandinių tirpalus. Ir tikimybių teorija: renginių, pavyzdžiai čia yra neatskiriama sudedamoji patvirtinantis mokslinių skaičiavimų.

Už iš kombinacijų skaičius formulė

Pavyzdžiui, kortelės denio turi trisdešimt korteles, pradedant nuo nominalios vieną. Kitas klausimas. Kiek būdų Sulenkite denio taip, kad kortelės su nominaliąja verte vienos ir dviejų nebuvo įsikūrusi šalia?

Užduotis yra nustatytas, dabar pereikime kovoti su ja. Pirmiausia jums reikia nustatyti kombinacijomis trisdešimt elementų, šiam tikslui mes priimame pirmiau nurodytą formulę skaičių, paaiškėja P_30 = 30!.

Remiantis šia taisykle, mes žinome, kiek variantų yra išdėstyti įvairiais būdais denio, bet mes turime būti išskaičiuojamos iš jų yra tie, kurių pirmoji ir antroji kortelė bus toliau. Norėdami tai padaryti, pradėti su variantu, kai pirmasis yra antrame. Pasirodo, kad pirmoji žemėlapis gali imtis dvidešimt devyni vietas - nuo pirmos iki dvidešimt devintą, o antrasis kortelės nuo antrojo iki trisdešimt, pasirodo dvidešimt devyni vietas porų kortelių. Savo ruožtu, kiti gali imtis dvidešimt aštuoni vietų, ir bet kokia tvarka. Tai reiškia, kad už dvidešimt aštuoni kortelių pertvarkymo jau dvidešimt aštuonių variantų P_28 = 28!

Rezultatas yra tai, kad jei mes manome, sprendimą, kai pirmoji korta yra antrame papildomą galimybę gauti 29 ⋅ 28! = 29!

Naudojant tą patį metodą, jums reikia apskaičiuoti nereikalingų galimybių tuo atveju, kai pirmoji korta yra po sekundę. Taip pat gauta 29 ⋅ 28! = 29!

Iš to išplaukia, kad papildomų galimybių 2 ⋅ 29!, O būtinų priemonių surinkti denio 30! - 2 ⋅ 29!. Belieka tik skaičiuoti.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Dabar mums reikia padauginti kartu visus numerius nuo vieno iki dvidešimt devynerių, o vėliau visa padaugintas iš 28. pabaigos Atsakymas gautas 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Pavyzdžiai sprendimų. Už nakvynę skaičius formulė

Į šią problemą, jums reikia sužinoti, kiek yra būdų, kaip įdėti penkiolika apimtis ant lentynos, bet su sąlyga, kad tik trisdešimt apimtys.

Atlikdamas šią užduotį, sprendimas šiek tiek lengviau nei ankstesnis. Naudojant jau žinomą formulę, būtina apskaičiuoti, kiek iš viso trisdešimt vietose penkiolika apimtis.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 727 360 000

Atsakas, atitinkamai, bus lygi 202 843 204 931 727 360 000.

Dabar imtis užduotį šiek tiek sunkiau. Jūs turite žinoti, kiek yra būdų, kaip pasirūpinti trisdešimt dviejų knygų lentynose, su sąlyga, kad tik penkiolika apimtys gali gyventi tame pačiame lentynos.

Prieš sprendimo pradžioje norėčiau paaiškinti, kad kai kurių problemų gali būti išspręsta keliais būdais, ir tai yra du būdai, tačiau tiek vienas ir tas pats formulė taikoma.

Atlikdamas šią užduotį, jūs galite imtis atsakymą nuo ankstesnės, nes mes apskaičiavome, kiek kartų galite užpildyti lentyną penkiolika knygų įvairiais būdais. Paaiškėjo A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

Antrasis pulkas skaičiuojamas pagal formulę pertvarkymo, nes jis dedamas penkiolika knygų, o penkiolikos laikui. Mes naudojame formulę P_15 = 15!.

Pasirodo, kad suma bus A_30 ^ 15 ⋅ P_15 būdais, tačiau, be to, visų skaičių nuo trisdešimties iki šešiolikos produktas būtų padauginta iš numerių produkto nuo vieno iki penkiolikos, galų gale pasirodo, visų numerių nuo vieno produkto prie trisdešimties, kad yra atsakymas 30!

Bet ši problema gali būti išspręsta kitaip - lengviau. Norėdami tai padaryti, galite įsivaizduoti, kad yra vienas lentyna trisdešimt knygų. Visi jie yra ant šios plokštumos, bet todėl, kad sąlyga reikalauja, kad ten buvo dvi lentynos, viena ilgai mes pjaustymo per pusę, du posūkiai penkiolika. Iš to paaiškėja, kad šis susitarimas gali būti P_30 = 30!.

Pavyzdžiai sprendimų. Už derinių skaičius formulė

Kas yra laikoma trečiojo problema Kombinatorika variantas. Jūs turite žinoti, kiek būdų yra susitarti penkiolika knygų apie su sąlyga, kad jūs turite pasirinkti iš trisdešimt lygiai tas pats.

Dėl sprendimo, žinoma, taikyti formulę skaičių kombinacijos. Nuo sąlyga, kad ji tampa aišku, kad tų pačių penkiolika knygų užsakymas nėra svarbu. Taigi iš pradžių reikia išsiaiškinti, skaičių derinių trisdešimt penkiolika knygų.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Tai viskas. Naudojant šią formulę, per trumpiausią įmanomą laiką išspręsti tokią problemą, atsakymas, atitinkamai, lygią 155,117,520.

Pavyzdžiai sprendimų. Klasikinis tikimybės apibrėžimas

Naudojant formulę aukščiau pateiktą, galima rasti į paprastą užduotį atsakymą. Bet tai bus aiškiai matyti ir sekti veiksmų kursą.

Pavestą užduotį, kad balsuokite yra dešimt visiškai identiški kamuoliai. Iš jų keturi geltona ir šešių mėlyna. Paimta iš urnos vienas rutulys. Būtina žinoti tikimybę dostavaniya mėlyna.

Norėdami išspręsti šią problemą, būtina paskirti dostavanie Blue Ball renginių A. Ši patirtis gali turėti dešimt rezultatus, kurie, savo ruožtu, elementarus ir vienodai tikėtina. Tuo pačiu metu, šeši iš dešimties yra palanki renginys A. Išspręskite šią formulę:

P () = 6: 10 = 0,6

Taikant šią formulę, mes sužinojome, kad galimybė dostavaniya Blue Ball yra 0,6.

Pavyzdžiai sprendimų. Įvykių sumos tikimybė

Kuris bus variantas, kuris yra išspręsti naudojant tikimybės įvykių sumos formulę. Taigi, atsižvelgiant į sąlygą, kad yra du atvejai, pirmasis yra pilka ir penki balti rutuliai, o antrasis - aštuoni pilka ir keturi balti rutuliai. Kaip rezultatas, pirmasis ir antrasis dėžės ėmėsi ant vieno iš jų. Būtina išsiaiškinti, kokia yra tikimybė, kad trūko rutuliai yra pilka ir balta.

Norėdami išspręsti šią problemą, būtina nustatyti įvykį.

• Taigi, - rasta pilką rutulio Pirmajame lauke: P (A) = 1/6.
• A "- balta lemputė taip pat paimta iš pirmojo akių: P (") = 5/6.
• The - jau ekstrahuojamas gray ball antrojo vamzdžio: P (b) = 2/3.
• B - pradėjo pilką kamuolį antrojo stalčių: P (b ') = 1/3.

Pagal šią problemą būtina, kad vienas iš reiškinių įvyko AB "arba" B. Naudojant formulę, mes gauti: P (ab ') = 18/01, P (A'B) = 10/18.

Dabar buvo naudojamas iš dauginant tikimybę formulė. Kitas, sužinoti atsakymą, jums reikia pritaikyti savo lygtį pridedama:

P = P (ab '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

Štai kaip, naudojant formulę, galite išspręsti tokias problemas.

rezultatas

Popierius buvo pristatyta informacija apie "tikimybių teorijos", įvykių, kurie vaidina svarbų vaidmenį tikimybe. Žinoma, ne viskas buvo laikomi, tačiau d ÷ l pateikto teksto pagrindu, galite teoriškai susipažinti su šia matematikos šakos. Laikoma mokslas gali būti naudinga ne tik profesinės veiklos, tačiau taip pat kasdieniame gyvenime. Jūs galite naudoti ją apskaičiuoti bet kokį įvykį, galimybę.

Tekste taip pat buvo reikšmingų datų į tikimybių teorijos plėtrą kaip mokslo istorijos ir žmonių, kurių darbai buvo įdėti į ją pavadinimų. Štai kaip žmogaus smalsumas lėmė tai, kad žmonės išmoko skaičiuoti, net atsitiktinius įvykius. Kai jie tiesiog domina tai, bet šiandien jis jau yra žinoma visiems. Ir niekas negali pasakyti, kas nutiks mums ateityje, ką kiti puikūs atradimai susiję su teorija svarstomas, būtų padarytas. Tačiau vienas dalykas yra tikrai - tyrimas dar nėra verta!