Paprasta iteracijos metodas sprendžiant Tiesinių lygčių sistemos (Slau)

Paprasta iteracijos metodu, taip pat vadinamas eilės suderinimo metodą, - matematinį algoritmą, kaip rasti nežinomos vertės vertybes laipsniškas paaiškinti ją. Šio metodo esmė yra ta, kad, kaip rodo pats pavadinimas, yra palaipsniui išreikšti pradinį derinimą vėlesni, vis labiau rafinuotas rezultatus. Šis metodas yra naudojamas rasti kintamojo vertę per tam tikrą funkciją, ir spręsti sistemų lygtis, tiek linijinis ir nelinijinis.

Pažiūrėkime, kaip šis metodas yra įgyvendinamas linijinių sistemų sprendimas. fiksuoto taško iteracijos algoritmas yra toks:

1. konvergencijos sąlygų pradinio matricos patikrinimas. Konvergencijos teorema: jei originalas sistema matrica yra įstrižai dominuojanti (ty, kiekvienas iš elementų pagrindinio Diagonal eilutė turi būti didesnis dydžio nei elementų šalutinis įstrižainių absoliučia verte, suma), paprastų iteracijų metodas - linkmės.

2. originalus sistemos matrica yra ne visada įstrižainės vyravimas. Tokiais atvejais sistema gali būti transformuota. Lygtis, kurios atitinka konvergencijos būklę liko nepažeista, su netenkina ir padaryti linijinius derinius, t.y. padauginti, atimti, lygtis sulankstyti kartu gaminti norimą rezultatą.

Jei gavo sistema pagrindinė įstrižainė yra Nepatogus veiksniai, tada abi šios lygties pusių yra pridėta kalbant apie forma _i * x _i, kuri turėtų sutapti su ženklais požymių įstrižainės elementų.

3. Konvertavimas gautą sistemą į normalią peržiūrą:

^{x - = β - + α *} x -

Tai galima padaryti įvairiais būdais, pavyzdžiui, taip: pirmoji lygtis išreikšti x ₁ per kitas nežinomas nuo vtorogo- x _{2 x 3} tretego- tt Taigi, mes pagal šią formulę:

_{α-ij = - (a ij /} A II)

₌ bi _I / A _II
Įsitikinkite, kad vėl, kad dėl sistemos normalaus tipo atitinka konvergencijos būklės:

Σ (j = 1) | _α-ij | ≤ 1, ir i = 1,2, ... n

4. Pradžia naudojamas, iš tikrųjų, paeiliui artėjimą metodą.

x ⁽⁰⁾ - pradinis suderinimas, mes išreikšti pagal Fig.l x ^(1), po to x ⁽¹⁾ x Express ^(2). Bendras formulė matricos forma taip:

x ^{(N) = β - + α} * x (n- ¹⁾

Mes apskaičiuoti, kol pasiekiame norimą tikslumą:

_{maks | x i (k) -X} I (k + 1) ≤ ε

Taigi, pažiūrėkime praktiškai į paprastą iteracijos metodu. pavyzdys:
Išspręskite linijinius sistemas:

4,5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 tikslumu ε = 10 ^-3

Žiūrėti vyrauja jei įstrižainės elementų modulio.

Mes matome, kad konvergencijos sąlyga yra tenkinama trečioji lygtis. Pirmasis ir antrasis transformuoti, pirmą lygtį mes pridėti du:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Atimti iš trečiosios vieną:

-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Mes turime transformuoti originalią sistemą į ekvivalentą:

7,6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2,7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Dabar mes sumažinti sistemą į normalią peržiūrą:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
X2 = 0,4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Mes patikrinti kartotinį procesą konvergenciją:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 0,2857 + 0,9286 = ≤ 1
0.383+ 0,5319 = 0,9149 ≤ 1, t.y. sąlyga yra įvykdyta.

0,3947
Pradinis suderinimas x ⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Pakeisti šias reikšmes į įprastą tipo lygtį, gauname tokias reikšmes:

0,08835
x ⁽¹⁾ = 0,486793
0.446639

Pakaitiniai naujas vertes, gauname:

0.215243
x ⁽²⁾ = 0,405396
0.558336

Mes ir toliau skaičiuoti iki tol, kol gausite arčiau vertybių, kurios atitinka nurodytas sąlygas.

0,18813

x ⁽⁷⁾ = 0,441091

0.544319

0.188002

x ⁽⁸⁾ = 0,44164

0.544428

Patikrinkite rezultatų teisingumą:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1x * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Rezultatai, gauti pakeičiant gautus vertybes į pradinę lygtį, pilnai tenkinti lygtį.

Kaip matome, paprastas iteracijos metodas suteikia gana tikslius rezultatus, bet ir išspręsti šią lygtį, mes turėjome praleisti daug laiko ir daryti sudėtingų skaičiavimų.