Neginčijami skaičiai: kas tai yra ir kokie jie naudojami?

Kas yra neracionalūs skaičiai? Kodėl jie vadinami? Kur jie naudojami ir kas jie yra? Tik nedaugelis gali atsakyti į šiuos klausimus be abejonių. Tačiau iš tikrųjų atsakymai į juos yra gana paprasti, nors retai situacijose jie nėra reikalingi

Esmė ir paskirtis

Neracionalūs skaičiai yra begaliniai neperiodiniai dešimtainiai skaičiai. Būtinybė įvesti šią koncepciją yra ta, kad sprendžiant naujas iškylančias problemas, anksčiau nebuvo pakankamai realių ar tikro, sveiku, natūralių ir racionalių skaičių sąvokų. Pavyzdžiui, norint apskaičiuoti, kvadratu, kokia yra 2 vertė, būtina naudoti neperiodinius begalinius dešimtainius skaičiai. Be to, daugeliui paprasčiausių lygčių taip pat nėra sprendimo, neįvedant neracionalaus skaičiaus sąvokos.

Šis rinkinys yra pažymėtas kaip I. Ir, kaip jau aišku, šios vertybės negali būti pateikiamos kaip paprasta frakcija, skaitiklyje, kurioje yra sveikasis skaičius, o vardiklyje - natūraliu skaičiumi.

Pirmą kartą Indijos matematikai tokiu ar kitu būdu susidūrė 7 a. Pr. Kr, kai buvo nustatyta, kad kai kurių kiekių kvadratinės šaknys negali būti aiškiai nurodytos. Ir pirmasis tokių skaičių egzistavimo įrodymas priskiriamas "Pythagorean Gippas", kuris tai padarė studijuodamas lygiagretus dešinį trikampį. Rimtą indėlį į šio rinkinio tyrimą pateikė kai kurie mokslininkai, kurie gyveno prieš mūsų erą. Neracionalių skaičių sąvokos įvedimas persvarstė esamą matematinę sistemą, todėl jos yra tokios svarbios.

Vardas kilmė

Jei vertimo iš lotynų santykis yra "frakcija", "santykis", prefiksas "ir"
Suteikia šį žodį priešingą reikšmę. Taigi, šių skaičių rinkinio pavadinimas rodo, kad jie negali būti koreliuoti su sveiku ar daliniu, turi atskirą vietą. Tai išryškėja iš jų esmės.

Įdėkite į bendrą klasifikaciją

Neapibrėžtieji skaičiai kartu su racionaliais skaičiais reiškia realių ar realių skaičių grupę, kuri savo ruožtu reiškia sudėtingus skaičius. Nėra pogrupių, tačiau jie išskiria algebrinę ir transcendentinę įvairovę, apie kurią aptarime toliau.

Savybės

Kadangi neracionalūs skaičiai yra realių skaičių dalis, jiems yra taikomos visos jų savybės, kurios yra tiriamos aritmetinėje (jie taip pat vadinami pagrindiniais algebriniais įstatymais).

A + b = b + a (komutavumas);

(A + b) + c = a + (b + c) (asociacija);

A + 0 = a;

A + (-a) = 0 (priešingos eilės egzistavimas);

Ab = ba (perkėlimo įstatymas);

(Ab) c = a (bc) (distribucijos);

A (b + c) = ab + ac (paskirstymo teisė);

Ašis 1 = a

Ašis 1 / a = 1 (egzistuoja atvirkštinis skaičius);

Palyginimas taip pat atliekamas vadovaujantis bendraisiais įstatymais ir principais:

Jei a> b ir b> c, tada a> c (santykio transitivity) ir. Ir tt

Žinoma, visi neracionalūs skaičiai gali būti transformuojami naudojant pagrindines aritmetines operacijas. Šiuo atveju specialių taisyklių nėra.

Be to, Archimedo aksiomos poveikis tęsiasi iki neracionalių skaičių. Jame teigiama, kad bet kuriuose a ir b kiekiuose yra toks teiginys: pakankamą skaičių įskaičiuojant, galima viršyti b.

Naudok

Nepaisant to, kad įprastu gyvenimu jums dažnai nereikia elgtis su jais, neracionalūs skaičiai negali pasikliauti. Jie yra didžiuliai, tačiau jie beveik nematomi. Mes esame apsupti neracionalių skaičių visur. Pavyzdžiai, žinomi visiems, yra skaičius pi, lygus 3,1415926 ... arba e, kuris yra natūraliojo logaritmo pagrindas, 2,718281828 ... Algebra, trigonometrija ir geometrija, jas reikia naudoti nuolat. Beje, garsiąją "auksinio skyriaus" prasmę, ty didesnės dalies santykį su mažesniu, ir atvirkščiai, taip pat Nuoroda į šį rinkinį. Mažiau žinomas "sidabras" - taip pat.

Skaičiavimo eilutėje jie yra labai tankūs, todėl tarp bet kurių dviejų kiekių, nurodytų racionalių rinkinių, turi būti neracionalu.

Iki šiol yra daug neišspręstų problemų, susijusių su šiuo rinkiniu. Yra tokie kriterijai kaip netradicinio mato ir skaičiaus normalumas. Matematikai ir toliau tiria svarbiausius jų priklausymo tam tikrai grupei pavyzdžius. Pavyzdžiui, manoma, kad e yra įprastas skaičius, ty, skirtingų skaitinių įrašymo tikimybė yra tokia pati. Kalbant apie Pi, vis dar vyksta tyrimas dėl jo. Irrationalumo matas yra kiekis, rodantis, kiek skaičių galima aproksėti racionaliais skaičiais.

Algebrinė ir transcendentinė

Kaip jau minėta, neracionalūs skaičiai sąlygiškai suskirstomi į algebrines ir transcendentines. Sąlygiškai, nes, griežtai sakant, ši klasifikacija naudojama padalintam rinkiniui C.

Pagal šį pavadinimą yra sudėtingi skaičiai, kurie apima tikrąjį ar realų skaičių.

Taigi, algebrinis terminas yra vertė, kuri yra polinomo, kuris nėra vienodas nulis, šaknis. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš 2 priklausys šiai kategorijai, nes tai yra lygtis x ² - 2 = 0.

Visi kiti realūs skaičiai, kurie neatitinka šios sąlygos, yra vadinami transcendentiniais. Garsiausi ir jau paminėti pavyzdžiai yra šios veislės - skaičiaus pi ir natūraliojo logaritmo bazės e.

Įdomu tai, kad nei vienas, nei kitas iš pradžių nebuvo tokie matematikai, jų neracionalumas ir transcendencija buvo įrodyti daugelį metų po jų atradimo. "Pi" įrodymas buvo pateiktas 1882 m. Ir supaprastintas 1894 m., O tai baigė diskusijas apie apskritimo kvadratūros problemą, kuri truko 2,5 tūkstančius metų. Tai vis dar nėra visiškai suprantama, kad šiuolaikiniai matematikai turi ką veikti. Beje, pirmas tikslus šios vertės apskaičiavimas padarė Archimedas. Prieš jį visi skaičiavimai buvo per daug apytiksliai.

Dėl e (Eulerio ar Napiero numerio) jo transcendencijos įrodymas buvo nustatytas 1873 m. Jis naudojamas sprendžiant logaritminius lygtis.

Tarp kitų pavyzdžių yra sine, cosinus ir tangentinių verčių bet kurios algebrinės ne nulinės vertės.