Geometrine progresija ir jos savybės

Geometrine progresija yra svarbi matematikos, kaip mokslo ir taikomos reikšmę, nes ji turi labai plačią apimtį, net ir aukštosios matematikos, pavyzdžiui, atsižvelgiant į serijos teorija. Pirmoji informacija apie pažangą, atėjo pas mus iš senovės Egipto, ypač gerai žinoma problema su Rhind papirusas iš septynių asmenų, su septynių kačių forma. Variacijos šią užduotį buvo pakartotas daug kartų skirtingu metu iš kitų tautų. Net Velikiy Leonardo Pizansky, žinomas kaip Fibonačio (XIII a.) Kalbėjo su ja savo "knygą Abacus".

Taigi, kad geometrine progresija yra senovės istorija. Ji reiškia skaitinę seką su nuliui pirmojo elemento, ir kiekvienu paskesniu, pradedant su antruoju nustatomas padauginus ankstesnį pasikartojimo formulę esant pastoviam, nenuline skaičius, kuris vadinamas vardiklis progresavimas (ji paprastai paskirta naudojant raidė q).
Akivaizdu, kad ji gali būti nustatyta, dalijant kiekvieną vėlesnį terminą sekos į ankstesnį, t.y. Z 2: Z = 1 ... = Zn: Z n-1 = .... Todėl, daugumai darbo progresavimo (Zn) pakankamai, kad ji žino pirmosios kadencijos vardiklį ir y 1 q vertę.

Pavyzdžiui, leisti Z 1 = 7, q = - 4 (q <0), tada taip geometrine progresija yra gaunamas 7 - 28, 112 - 448, .... Kaip matote, gautas seka nėra monotoniška.

Priminti, kad savavališkai seka monotoniškas (didinimas / mažinimas), kai vienas iš jo narių sekti daugiau / mažiau nei ankstesnės. Pavyzdžiui, seka 2, 5, 9, ..., ir -10, -100, -1000, ... - monotoniška, o antrasis - mažėja geometrine progresija.

Tuo atveju, kur q = 1, visi nariai yra nustatyta, kad, ir ji yra vadinama konstanta progresavimo.

Seka buvo šio tipo progresavimo, jis turi atitikti šių būtina ir pakankama sąlyga, būtent: pradedant nuo sekundę, kiekvienas iš jos narių turėtų būti geometrinis vidurkis kaimyninių narių.

Šis viešbutis leidžia tam tikromis du greta nustatymo savavališkai trukmės progresavimo.

n-oji terminas eksponentiškai lengvai rasti pagal formulę: Zn = Z 1 * q ^ (n-1), Z žinant, pirmąjį ir antrąjį elementus 1 ir vardiklis q.

Nes skaitinė seka turi sumą, tada keletas paprastų skaičiavimai mums formulę, siekiant apskaičiuoti pirmojo progresavimo narių, būtent suma:

S N = - (Zn * q - Z 1) / (1 - q).

Pakeisdamas, kurio formulė jo išraiška vertė Zn Z 1 * q ^ (n-1), gaunant antrąjį sumą formulę progresijos: S n = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Ar vertas dėmesio taip įdomus faktas: molio tabletė rasta kasinėjimų senovės Babilono, kurioje daroma nuoroda į VI. Prieš Kristų, yra puikus būdas iš sumą 1 + 2 + ... + 22 + 29 lygi 2 iki dešimtos maitinimo minusas 1. Šio reiškinio paaiškinimas dar nebuvo rasta.

pastoviu darbo jos narių, kurios išdėstytos vienodais atstumais nuo sekos galuose - vienas iš geometrine progresija savybių mes dėmesį.

Ypač svarbus moksliniu požiūriu, toks dalykas kaip begalinės geometrinės progresijos ir apskaičiuoti jos dydį. Darant prielaidą, kad (in) - Geometrinė progresija, turintis vardiklio q, tenkinanti sąlygą | Q | <1, jo suma bus nurodyta riba į kurį mes jau žinome, kad pirmuosius narių sumą, su neribotu padidėjimas n, tada į jį artėja prie begalybės.

Rasti šią sumą kaip naudojant formulę rezultatas:

S N = Y 1 / (1- q).

Ir, kaip patirtis parodė, už tariamo paprastumo šios progresijos yra paslėptas didžiulis taikymo galimybes. Pavyzdžiui, jei mes statyti kvadratų seką pagal šią algoritmu, jungiantį ankstesnės midpoints, tada jie sudaro akimirkos begalinį geometrine progresija, turintį vardiklį 1/2. Tas pats progresavimo forma ir plotas trikampių, gauti kiekvieno statybos etape, ir jos suma yra lygi pirminio kvadrato plotas.